无法传授的直觉

看着刘浩然匆匆离去的背影，肖宿重新把注意力放回了《量子场论路径积分》。

　　但看了几页之后，他忽然想起什么，打开浏览器，搜索“罗伯特·格林论文”。

　　很快，纽约大学数学系的教授页面弹了出来，上面列出了格林教授近年来的主要工作。

　　肖宿快速浏览着那些标题和摘要，手指在触摸板上滑动。

　　《高维代数簇上有理点分布的有效界》

　　《模曲线与阿贝尔簇的算术性质》

　　《p进霍奇理论与应用》……

　　肖宿的目光在最后一个标题上停留了片刻。

　　p进霍奇理论，这不正是彼得·舒尔茨那套“perfectoidspaces”理论涉及的方向吗？

　　他记得之前看过舒尔茨2011年的那篇奠基性论文《p-adicHodgeTheoryforRigid-analyticSpacesandPerfectoidSpaces》。

　　那篇文章他花了差不多一周才完全消化，里面的思想极其深刻，用p进几何的工具重构了古典的霍奇理论。

　　如果格林教授的研究也涉及这个方向，那讲座可能会很有趣。

　　肖宿点开格林教授最近的一篇预印本，开始快速阅读。

　　他的阅读速度极快。

　　大概二十分钟之后，肖宿已经对格林教授的工作风格和主要技术手段有了大致把握。

　　很扎实的算术几何研究，偏重经典方法，但也能看到一些现代p进几何思想的影子。

　　就在这时，手机又震动了一下。

　　这次是陈林发来的消息。

　　“肖哥！！！救命啊！！！”

　　后面跟了一串崩溃的表情。

　　肖宿回复：“？”

　　陈林秒回：“数学分析期中卷发下来了，我最后那道题证明写崩了，扣了15分！老周说那道题用的技巧跟你上周跟我讲的一个引理很像，但我当时没完全听懂……你现在有空吗？求指点！”

　　肖宿看了看时间，下午四点十分。

　　他回复：“图书馆东区四楼，过来吧。”

　　五分钟后，陈林抱着一沓草稿纸和试卷，哭丧着脸出现在肖宿对面。

　　“肖哥，你看这题。”

　　他把试卷推过来，指着最后一道压轴题。

　　“证明：若f在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0，则存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=f(ξ)。”

　　肖宿扫了一眼题目，点点头。

　　“嗯，用你之前问我的那个‘微分中值定理的推广形式’。”

　　“对啊！你当时说构造辅助函数F(x)=e^{-x}f(x)，然后用罗尔定理。但我考试时脑子一抽，构造了个F(x)=f(x)e^{x}，然后就全错了……”

　　陈林欲哭无泪。

　　肖宿拿过草稿纸，写下一个简洁的证明过程。

　　“设F(x)=e^{-x}f(x)。则F在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且F(0)=f(0)=0，F(1)=e^{-1}f(1)=0。由罗尔定理，存在ξ∈(0,1)，使F'(ξ)=0。”

　　“而F'(x)=e^{-x}f'(x)-e^{-x}f(x)=e^{-x}[f'(x)-f(x)]。故F'(ξ)=e^{-ξ}[f'(ξ)-f(ξ)]=0。由于e^{-ξ}≠0，故f'(ξ)-f(ξ)=0，即f'(ξ)=f(ξ)。证毕。”

　　陈林盯着那几行字，表情从困惑到恍然再到懊恼。

　　“就这么简单？！我考试时怎么就没想到用e^{-x}呢……”

　　“因为你被形式迷惑了。”

　　肖宿平静地说。

　　“这道题的本质是要构造一个函数，让它的导数能产生f'(x)-f(x)的结构。e^{-x}的导数是-e^{-x}，所以乘上去后，乘积的导数会出现f'(x)-f(x)项。这是标准技巧。”

　　陈林挠着头：“道理我都懂，可考试时就是反应不过来。肖哥，你这种一眼看穿问题本质的能力到底是怎么练出来的？”

　　肖宿沉默了几秒，似乎在思考如何回答。

　　最后他说：“多想想‘为什么’，少记‘怎么做’。

　　每个技巧背后都有它的几何或代数原因。

　　比如这个e^{-x}，它是指数函数，是指数函数导数的自相似性导致了这种构造可行。

　　想明白这一点，下次遇到类似问题自然就能想到。”

　　陈林似懂非懂地点点头，把肖宿写的证明过程仔细抄在笔记本上。

　　抄完后，他忽然压低声音，神秘兮兮地问：“肖哥，我听说……你那篇投JAMS的论文，有消息了？”

　　肖宿摇摇头：“还没。审稿周期通常很长。”