原来到达山顶的路是这样的

他换了个思路。

　　在辛几何中，拉格朗日子流形之间的几何关系可以用它们的相交理论来描述。

　　对于两个拉格朗日子流形L1和L2，它们的相交数是一个重要的不变量。

　　如果L1和L2是某个辛同胚的像，那么这个相交数就反映了这个辛同胚的性质。

　　在X中，L_p和L_{p+2}是两条零维子流形，即点。

　　它们不相交，除非p=p+2，这不可能。

　　所以相交数为0。

　　这没有信息。

　　也许需要考虑更高维的拉格朗日子流形。

　　肖宿想到，可以构造一个一维拉格朗日子流形，它连接所有孪生素数对。

　　比如，考虑所有满足x和x+2都是素数的实数x的集合，这是一些孤立点，无法连成连续曲线。

　　还是不行。

　　肖宿再次站起身，在房间里踱步。

　　也许问题不在于单个素数对，而在于素数对的分布模式。

　　就像统计物理中，我们关心的不是单个粒子的位置，而是粒子的关联函数。

　　他想起陶哲轩报告中提到的“关联函数”概念。

　　对于素数分布，可以定义两点关联函数R(k)=lim(1/N)Σχ_P(n)χ_P(n+k)，其中χ_P是素数的特征函数。

　　哈代—李特尔伍德猜想给出了R(2)的渐近形式：R(2)~C·N/(logN)^2，其中C≈是孪生素数常数。

　　这个常数C是怎么来的？

　　它是∏_{p＞2}(11/(p—1)^2)。这个乘积收敛到...。

　　肖宿盯着这个乘积，突然意识到什么。

　　这个形式，和顾—辛框架中加权度量的正规化项很像！

　　他的笔快速动了起来：

　　C=∏_{p＞2}(11/(p—1)^2)=exp[Σ_{p＞2}log(11/(p—1)^2)]

　　而log(11/(p—1)^2)~—1/p^2当p很大时，所以这个级数收敛。

　　如果把加权度量中的权重ω(p)取为log(11/(p—1)^2)，那么正规化后的距离d̂就会与C有关。

　　肖宿开始重新定义。

　　设ω(p)=—log(11/(p—1)^2)对于p＞2，对于p=2需要单独处理。

　　这个权重是正的，因为11/(p—1)^2＜1，所以log为负，加负号后为正。

　　当p很大时，ω(p)~1/p^2，所以Σω(p)收敛。

　　非常好！

　　这样定义加权度量时，不再需要正规化，因为级数本身就收敛。

　　接着再定义(顾—辛关联度量)：对于两个整数m和n，定义它们的关联距离为ρ(m,n)=Σ_{p∤(m—n)}ω(p)+δ_{2|(m—n)}·ω(2)，其中ω(p)=—log(11/(p—1)^2)对于p＞2，ω(2)由单独公式定义。

　　对于孪生素数对(m,n)=(p,p+2)，m—n=2，所以p=2整除m—n。

　　因此：ρ(p,p+2)=ω(2)+Σ_{p＞2,p∤2}ω(p)=ω(2)+Σ_{p＞2}ω(p)

　　因为对于p＞2，2不被p整除，所以所有p＞2都计入。

　　而Σ_{p＞2}ω(p)=Σ_{p＞2}log(11/(p—1)^2)=—logC

　　所以ρ(p,p+2)=ω(2)logC

　　只要适当定义ω(2)使得ρ(p,p+2)=某个常数，比如1，就可以得到ω(2)=1+logC。

　　完美！

　　肖宿的思考越来越快，难以抑制的嘴角上扬。

　　他知道自己离成功越来越近了。

　　这个定义的美妙之处在于：对于孪生素数对，关联距离ρ是常数；对于非孪生素数对，ρ会不同。

　　而且这个ρ的构造直接来源于哈代—李特尔伍德的常数C，那个被数值验证了无数次的常数。

　　所以，孪生素数对就是那些使得ρ(p,p+2)取特定值的素数对。

　　现在，问题转化为：在顾—辛特征空间X中，考虑所有素数点构成的集合P。

　　在这个集合上，有一个由ρ诱导的“关联结构”。

　　如果能够证明，这个关联结构具有某种刚性，即如果存在有限个使得ρ取特定值的点对，那么就必须存在无穷多个，那么孪生素数猜想就得证了。