迷宫

　　孪生结构的定义是设(M,ω)是一个辛流形，L1和L2是两个拉格朗日子流形。

　　如果存在一个辛同胚φ:M→M，使得φ(L1)=L2，且φ^2=id，则称(L1,L2)构成一个孪生结构。

　　现在，把X看作一个辛流形。把每个素数p对应的“点”看作一个零维拉格朗日子流形。

　　那么，孪生素数对(p,p+2)对应于一对拉格朗日子流形，它们之间由一个特定的辛同胚相联系。

　　这个辛同胚是什么？

　　肖宿放下笔沉思了会儿。

　　在数轴上，从p到p+2是一个平移。

　　在X中，这个平移应该对应于一个变换T，它在每个p进分量上的作用是T(x)=x+2。

　　T是一个辛同胚吗？在顾—辛框架的辛结构中，平移确实是辛同胚，因为辛形式是平移不变的。

　　所以T是辛同胚。

　　那么T^2就是平移4，不是恒等映射。

　　所以不满足φ^2=id的条件。

　　也许不是要求φ^2=id，而是要求φ和某个对合变换的复合是id？

　　肖宿继续思考。

　　设S是某个对合变换，比如S(x)=—x。那么如果T∘S是id，则T=S。

　　这不可能。

　　如果S∘T∘S=T^{—1}？

　　这有点像辛几何中的某种对偶关系。

　　也许这就是关键。

　　肖宿开始重新表述问题。

　　在顾—辛框架中，任何一个辛流形都有三个基本不变量：旋转守恒量、层次结构指数、可计算性度量。

　　对于X这个特殊的辛流形，它的旋转守恒量应该与素数分布有关。

　　如果我能够证明，在X中，由孪生素数条件所定义的子集具有非零的旋转守恒量，那么这个守恒量的存在就会强制要求孪生素数有无穷多对，就像角动量守恒强制要求旋转体不能停止一样。

　　这个想法让肖宿眼前一亮。

　　他继续在纸上推导起来。

　　第一步就是构造X上的辛形式。

　　这需要用到顾—辛框架中的标准方法，通过对每个p进分量赋予一个权重，然后取某种直和。

　　具体来说，设ω_p是第p个分量上的标准辛形式，在p进数域上，辛形式可以定义为ω_p(x,y)=|xy'x'y|_p，但需要适当正规化。

　　然后定义总辛形式为Ω=Σλ_pω_p，其中λ_p是权重系数。

　　权重系数需要满足某些条件，比如使得Ω是良定义的，即级数收敛，并且使得平移变换保持Ω。

　　肖宿尝试设λ_p=1/(plogp)。

　　这样Σλ_p收敛，因为Σ1/(plogp)发散？

　　不，Σ1/(plogp)是发散的，积分∫dx/(xlogx)发散。

　　所以需要衰减得更快。

　　λ_p=1/(p(logp)^2)？

　　这个级数收敛，因为∫dx/(x(logx)^2)收敛。

　　好，就用这个。

　　第二步是定义孪生结构。

　　设L_p是X中对应于素数p的点，即第p个分量为p，其他分量为0的嵌入像。

　　那么对于孪生素数对(p,p+2)，我们有一对点(L_p,L_{p+2})。

　　现在考虑变换T:x→x+2。

　　这是一个辛同胚，因为Ω是平移不变的。

　　考虑对合变换S:x→—x。

　　S也是辛同胚，如果Ω是偶函数的话，这还需要验证，但暂时假设成立。

　　那么S∘T是一个变换，它把x映到—x—2。

　　这个变换的平方是？

　　(S∘T)^2=S∘T∘S∘T=S∘(T∘S∘T)。T∘S∘T把x映到T∘S(T(x))=T∘S(x+2)=T(—x—2)=—x。

　　所以T∘S∘T=—id。

　　因此(S∘T)^2=S∘(—id)=—S。

　　这不是恒等映射。

　　有点乱。

　　肖宿意识到，可能还需要更系统的分